Question

9．在△ABC中，若（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6，且该三角形面积为$15\sqrt{3}$，则△ABC的最大边长等于14．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知可得：（a+b）：（a+c）：（b+c）=4：5：6，从而解得：a：b：c=3：5：7，不妨设a=3x，那么b=5x c=7x，则c为△ABC的最大边长．由余弦定理可求C，利用三角形面积公式解得ab=60．由余弦定理即可解得x的值，从而可求c的值．

解答 解：∵（sinA+sinB）：（sinA+sinC）：（sinB+sinC）=4：5：6，
∴利用正弦定理可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，代入上式可得：（a+b）：（a+c）：（b+c）=4：5：6，
从而解得：a：b：c=3：5：7，
不妨设a=3x，那么b=5x c=7x，则c为△ABC的最大边长．
∴cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∴由0＜C＜180°，可得：C=120°，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=15$\sqrt{3}$，解得ab=60．
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，可得：49x²=9x²+25x²-2×60×（-$\frac{1}{2}$），解得：x²=4，x=2，
从而可得△ABC的最大边长c=7×2=14．
故答案为：14．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．