Question

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点.

（I）求的标准方程；

（Ⅱ）若为坐标原点， 是的焦点，过点且倾斜角为的直线交于， 两点，求的面积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（I）将点坐标代入抛物线方程求参数p，即得标准方程；（Ⅱ）根据点斜式写直线方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式求底边边长，根据点到直线距离公式求高，最后代入三角形面积公式得面积.

试题解析：（I）依题意可设抛物线的方程是

因为抛物线过点，所以，解得，

所以抛物线的方程

（Ⅱ）法一：

由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，

联立方程化简，得

设则，

利用弦长公式得.

点到直线的距离，

所以的面积为.

法二：

由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，

联立方程化简，得

设则，

采用割补法，则的面积为

法三：

由（I）得，焦点，依题意知直线的方程是，

联立方程化简，得

设由韦达定理，得.

利用抛物线定义，得

点到直线的距离，

所以的面积为.