Question

如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.
(1)求证：BF∥平面ACE；
(2)求证：BF⊥BD.

Answer 1

(1)详见解析， (2) 详见解析.

试题分析：(1) 证明线面平行，需先证线线平行. 正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，∴BF∥平面ACE.列线面平行判定定理的条件必须要全面. (2)证明线线垂直，一般利用线面垂直进行转化.条件为面面垂直，所以先由面面垂直性质定理转化为线面垂直：正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.
证明　(1)AC与BD交于O点，连接EO.
正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，
∴BO＝EF，又因为EF∥BD，
∴EFBO是平行四边形，
∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE            7分
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.                  14分