题目内容

已知向量
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，
1+cos
x
2
2
）
（1）若
m
•
n
=1，求cos（
π
3
+x）的值；
（2）记f（x）=
m
•
n
，在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
分析：（1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，利用两角和的正弦公式和三角形内角和定理可得cosB=
1
2
，利用△ABC是锐角三角形，可得B=
π
3
．由（1）可知：f（x）=
m
•
n
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
．即可得到f（A）=sin(
A
2
+
π
6
)+
1
2
．利用锐角三角形的意义可得A的取值范围，再利用正弦函数的单调性即可得出．
解答：解：（1）∵
m
•
n
=1，∴
3
sin
x
4
cos
x
4
+
1+cos
x
2
2
=1，
化为
3
sin
x
2
+cos
x
2
=1，∴2(
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
)=1，∴sin(
x
2
+
π
6
)=
1
2
．
∴cos(x+
π
3
)=1-2sin2(
x
2
+
π
6
)=1-2×(
1
2
)2=
1
2
．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
化为2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵△ABC是锐角三角形，∴cosB=
1
2
，解得B=
π
3
．
由（1）可知：f（x）=
m
•
n
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
．
∴f（A）=sin(
A
2
+
π
6
)+
1
2
．
∵B=
π
3
，∴A+C=
2π
3
，∴0＜C=
2π
3
-A＜
π
2
，又0＜A＜
π
2
．
∴
π
6
＜A＜
π
2
．
∴
π
4
＜
A
2
+
π
6
＜
5π
12
．
∴
2
2
＜sin(
A
2
+
π
6
)＜
2
+
6
4
，
∴
2
+1
2
＜f(x)＜
2+
2
+
6
4
．
即函数f（A）的取值范围是(
2
+1
4
，
2
2
+6
4
)．
点评：本题综合考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦定理、两角和的正弦公式和三角形内角和定理、锐角三角形的意义、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了综合解决问题的能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（
3
sinx，cosx），
n
=（cosx，cosx），
p
=（2
3
，1）．
（1）若
m
∥
p
，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=
m
•
n
，求函数f（x）在区间[0，
π
3
]上的值域．
已知向量
m
=（
3
sinx，cosx），
n
=（cosx，cosx），
P
=（2
3
，1）．
（1）若
m
∥
p
，求
m
•
n
的值；
（2）若f（x）=
m
•
n
，求f（x）最小正周期及f（x）在（0，
π
3
]的值域．
已知向量
m
=（
3
sinx，cosx），
n
=（cosx，cosx），
p
=（2
3
，1）．
（1）若
m
∥
p
，求
m
•
n
的值；    
（2）若角x∈(0，
π
3
]，求函数f（x）=
m
•
n
的值域．
已知向量
m
=（
3
sinx，cosx），
n
=（cosx，cosx），
P
=（2
3
，1）．
（1）若
m
∥
p
，求
m
•
n
的值；
（2）若f（x）=
m
•
n
，求f（x）最小正周期及f（x）在（0，
π
3
]的值域．
已知向量
m
=（
3
sinx，cosx），
n
=（cosx，cosx），
p
=（2
3
，1）．
（1）若
m
∥
p
，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=
m
•
n
，求函数f（x）在区间[0，
π
3
]上的值域．

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