Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1）．
（1）若

m

∥

p

，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=

m

•

n

，求函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行的坐标表示式，建立关于x的等式，化简整理可得tanx=2．由此结合三角函数“弦化切”，即可算出sinx•cosx的值；
（2）由向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简整理，可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．结合x∈[0，

π

3

]和正弦函数的图象，即可得到函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的值域．

解答：解：（1）∵向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1）．
∴由

m

∥

p

，可得

3

sinxcosx=2

3

cos²x，
两边都除以

3

cos²x，得tanx=2．
∴sinx•cosx=

sinx•cosx

sin2x+cos2x

=

tanx

1+tan2x

=

2

5

．…（6分）
（2）由题意，得
f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
∵0≤x≤

π

3

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
可得1≤f（x）≤

3

2

，故函数f（x）的值域为[1，

3

2

]．…（12分）

点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，讨论了向量平行并求三角函数的值域，着重考查了向量数量积的坐标公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．