Question

已知函数（其中，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；

（Ⅱ）若，当时，试比较与2的大小；

（Ⅲ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围，并证明．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由可知，当时，由于，，

故函数在区间上是单调递减函数．

（Ⅱ）当时，，则，

令，，

由于，故，于是在为增函数，

所以，即在恒成立，

从而在为增函数，故．

（Ⅲ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，

即方程有两个根，设，则，

当时，，函数单调递增且；

当时，，函数单调递增且；

当时，，函数单调递减且．

要使有两个根，只需．

故实数k的取值范围是．

又由上可知函数的两个极值点，满足，

由，得，

∴，

由于，故，

所以．