Question

【题目】已知函数 .

（1）若函数的图象与直线相切，求的值；

（2）求在区间上的最小值；

（3）若函数有两个不同的零点， ，试求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （2）（3）

【解析】试题分析：（1）根据直线和曲线相切得到， ，联立两式消元即可得到参数值；（2）对函数求导分， ， 几种情况讨论函数的单调性，得到函数最值即可；（3）根据题意得到函数不单调，故得到时， 在上单调递减，在上单调递增，所以，若由两个相异零点，则必有，解不等式即可。

解析：

（1）设切点，因切线方程为，

所以 ，①

又，②

由①得，③，将③代入②得，

所以，因为在上递增，则是唯一根，

所以切点，代入切线方程得．

（2）因为，

所以 ，因，

当时， ，则在上单调递增；

所以在递增，则；

当时， 有， 有，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则当时， 在递减，则；

当时， 在递增，则；

当时， 在递减，在递增，则．

综上有

（3）由（2）可知，当时， 在上单调递增，则至多有一个零点，又当时， 在上单调递减，在上单调递增，所以，若由两个相异零点，则必有，

即，则．