Question

14．设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-2=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：$\frac{f（x）-1}{x-{e}^{x}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y=f（x）的解析式；
（2）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值即可证明：$\frac{f（x）-1}{x-{e}^{x}}$＜1．

解答 解：（1）因为${f^'}（x）=lnx+\frac{x+a}{x}$，所以f′（1）=1+a=-1，所以a=-2
又点（1，f（1））在切线x+y-2=0上，所以1+b-2=0，所以b=1
所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x-2）lnx+1．…．（4分）
（2）令g（x）=x-e^x，（x＞0）
因为g′（x）=1-e^x所以当x＞0时，g′（x）＜0
所以g（x）在区间（0，+∞）内单调递减，
所以g（x）＜g（0）=-1＜0
所以$\frac{f（x）-1}{g（x）}＜1$等价于f（x）-1＞g（x）．…．（6分）
我们如果能够证明f（x）-1＞-1，即f（x）＞0即可证明目标成立．
下面证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．
由（1）知${f^'}（x）=lnx+\frac{x-2}{x}$，令$h（x）=lnx+\frac{x-2}{x}（x＞0）$
则$h'（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}＞0$，所以h（x）在（0，+∞）内单调递增，
又h（1）=-1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x₀∈（1，2）使得h（x₀）=0．
当0＜x＜x₀时，h（x）＜0即f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x＞x₀时，h（x）＞0即f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
所以f（x）≥f（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1．由f′（x₀）=0得$ln{x_0}=\frac{2}{x_0}-1$
所以f（x）≥f（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1=（x₀-2）（$\frac{2}{{x}_{0}}$-1）+1=5-（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$）．
令$r（x）=x+\frac{4}{x}（1＜x＜2）$，则r′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-2）（x+2）}{{x}^{2}}$＜0
所以r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）=5
所以f（x）＞5-（x+$\frac{4}{x}$）＞5-5=0．
综上，对任意x∈（0，+∞），$\frac{f（x）-1}{g（x）}＜1$．…．（12分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．