Question

如图所示，在△ABC中，

OC

=

1

4

OA

，

OD

=

1

2

OB

，AD与BC交于M点．设

OA

=a，

OB

=b，
（1）用a，b表示

OM

；
（2）在已知线段AC 一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设

OE

=p

OA

，

OF

=q

OB

，求

1

p

+

3

q

的值．

Answer 1

分析：（1）由A，M，D三点共线可得存在实数t使得

OM

=t

OA

+(1-t)

OD

=t

a

+（1-t）•

1

2

b

=

1-t

2

b

+t

a

，同理由C，M，B三点共线可得存在实数λ使得

OM

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=λ

b

+

1-λ

4

a

，由向量相等的条件可求实数λ的值，从而可表示

OM

（2）设

OM

=x

OE

+y

OF

=xp

a

+yq

b

，结合（1）可得

xp= 1 7 yq= 3 7 x+y=1

从而可求

1

p

+

3

q

的值．

解答：解：（1）∵

OA

=

a

，

OB

=

b

由A，M，D三点共线可得存在实数t使得

OM

=t

OA

+(1-t)

OD

=t

a

+（1-t）•

1

2

b

=

1-t

2

b

+t

a

同理由C，M，B三点共线可得存在实数λ使得

OM

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=λ

b

+

1-λ

4

a

∴

1-λ 4 =t λ= 1-t 2

?

λ= 3 7 t= 1 7

∴

OM

=

3

7

b

+

1

7

a

（6分）
（2）设

OM

=x

OE

+y

OF

=xp

a

+yq

b

xp= 1 7 yq= 3 7 x+y=1

?

7x= 1 p 7y= 3 q x+y=1

?

1

p

+

3

q

=7（12分）

点评：本题主要考查了平面向量的共线定理的应用：若A，B，C三点共线，O为直线外一点?存在实数λ，μ使得

OC

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1；还考查了向量的基本定理的应用．