Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²=b²+$\frac{1}{4}{c^2}$，则$\frac{acosB}{c}$=$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 由已知等式可得c²=4a²-4b²，又由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，代入所求化简即可得解．

解答 解：∵a²=b²+$\frac{1}{4}{c^2}$，
∴解得：c²=4a²-4b²，
又∵由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴$\frac{acosB}{c}$=$\frac{a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}}{c}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+（4{a}^{2}-4{b}^{2}）-{b}^{2}}{2×（4{a}^{2}-4{b}^{2}）}$=$\frac{5（{a}^{2}-{b}^{2}）}{8（{a}^{2}-{b}^{2}）}$=$\frac{5}{8}$．
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．