Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点M为椭圆上的一个动点，△MF1F2面积的最大值为，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根据离心率和面积联立方程解得椭圆方程.

（2）设直线方程为y（x﹣m），联立方程根据韦达定理得到x1+x2＝m，x1x2，根据得到（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，代入化简得到答案.

（1）∵离心率为，△MF1F2面积的最大值为，

∴，①，即bc＝2，②又∵b2＝a2﹣c2，③

由①②③解得，a，b，c＝2，∴椭圆方程为．

（2）根据题意设直线l方程y﹣0＝tan（x﹣m），即y（x﹣m），

C（x1，y1），D（x2，y2），

联立直线l与椭圆的方程得2x2﹣2mx+m2﹣6＝0，

∴x1+x2＝m，x1x2，

y1y2，

若，则（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，

∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，∴，解得m＝3．