Question

如图6，圆，P是圆C上的任意一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.

（1）求点Q的轨迹G的方程；

（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为BD的中点. ①若M的坐标为M（2，1），求直线BD所在的直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹G的中心. 求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）.

Answer 1

解：（1）圆C的圆心为C（-2，0），半径r=6，.              

连结，由已知得，                                 

所以.                  

根据椭圆的定义，点Q的轨迹G是中心在原点，以C、A为焦点，长轴长等于的椭圆，

即a=3，c=2，，                            

所以，点Q的轨迹G的方程为.                          

（2）①设B、D的坐标分别为、，

则                                              

两式相减，得，          

当BD的中点M的坐标为（2，1）时，有，             

所以，即.       

故BD所在的直线方程为，即.                                      

②证明：设，且，

由①可知,                              

又                                                 

所以（定值）.