Question

（本小题满分12分）设函数（其中为自然对数的底数，），曲线在点处的切线方程为.

（1）求；

（2）若对任意，有且只有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）求导，再由条件，从而可求得；

（2）由（1）得，，因此需对的取值分以下三种

情况分类讨论：①当时，要使得在上有且只有两个零点，只需，

②当时，求导确定零点个数，

③当时，求导确定零点个数.

试题解析：（1）， 2分

∵，，∴； 3分

（2）由（1）得，，

①当时，由得，由得，此时在上单调递减，在上单调递增，∵，

（或当时，亦可）∴要使得在上有且只有两个零点，

则只需，即， 6分

②当时，由得或；由得.此时在上单调递减，在和上单调递增， 此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意， 9分

③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意.

综上所述，实数的取值范围为. 12分

考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.函数的零点；3.分类讨论的数学思想.