Question

若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数；②对任意实数x，都有f（）=f（），则下列函数中，符合上述条件的有 ________．（填序号）
①f（x）=cos4x；②f（x）=sin（2x）；
③f（x）=sin（4x）；④f（x）=cos（4x）．

Answer 1

①③
分析：根据条件先判断函数的一条对称轴是，再利用诱导公式对选项中解析式进行化简，根据正弦（余弦）函数的奇偶性和对称轴方程进行逐一判断．
解答：由题意知，函数的一条对称轴是x=，
①、f（x）=cos4x是偶函数，把x=代入得，4x=π，则是函数的对称轴，故①符合条件；
②、f（x）=sin（2x）=cos2x是偶函数，把代入得，2x=，则不是函数的对称轴，故②不符合题意；
③、f（x）=sin（4x）=cos4x，同①分析，故③符合题意；
④、f（x）=cos（4x）=-sin4x是奇函数，故④不符合题意．
故答案为：①③．
点评：本题考查了正弦（余弦）函数的奇偶性和对称性的应用，需要先通过诱导公式进行化简，考查了分析问题和解决问题的能力．