题目内容

设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n（n∈N*）．
（1）求 $数学公式$ ，并证明 $数学公式$ ；
（2）设b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n．

解：（1）令n=1，可得T₁=a₁=2-2a₁， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ；
由题意可得： $\text{[math]}$ T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），
所以 $\text{[math]}$ ；
（2）数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ，
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，，当n=1时， $\text{[math]}$ 也符合，所以 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由T_n=a₁•a₂…a_n，T_n=2-2a_n可以求得a₁，a₂，a₃，继而可求 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，结论易证；
（2）由（1）知道， $\text{[math]}$ ，又b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），可以求得 $\text{[math]}$ ，从而可以求得s_n．
点评：本题重点考查数列的通项与数列求和，解题的关键是合理转化条件，转化为等差数列来解决，求和时的难点在于裂项法求和，出现正负项相消，从而问题解决．