题目内容

将函数f（x）= $数学公式$ sin2x-cos2x的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：首先用三角函数的辅助角公式，将函数化简得f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），然后将函数的图象向右平移θ个单位，得到f（x-θ）=2sin（2x-2θ- $\text{[math]}$ ），再根据奇函数图象过原点，得到2sin（-2θ- $\text{[math]}$ ）=0，解之得θ=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，最后取k=1，得实数θ的最小值为 $\text{[math]}$ ．
解答：将函数f（x）= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x化简，得f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）
∴函数f（x）= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x的图象向右平移θ个单位，
得到f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+ $\text{[math]}$ ]，即y=2sin（2x-2θ- $\text{[math]}$ ），
∵y=2sin（2x-2θ- $\text{[math]}$ ）是奇函数，
∴当x=0时，y=2sin（-2θ- $\text{[math]}$ ）=0，
解之得-2θ- $\text{[math]}$ =kπ（，k∈Z），所以θ=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
检验：当θ=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 时，函数y=2sin（2x-2θ- $\text{[math]}$ ）=2sin2x是奇函数，符合题意．
再取k=1，得实数θ的最小值为 $\text{[math]}$
故选B
点评：本题将函数y=Asin（ωx+φ）的图象平移后，得到一个奇函数的图象，求平移长度的最小值，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数式的化简和函数图象平移的规律等知识点，属于中档题．