Question

17．某工厂生产A，B两种配套产品，其中每天生产x吨A产品，需生产x+2吨B产品．已知生产A产品的成本与产量的平方成正比．经测算，生产1吨A产品需要4万元，而B产品的成本为每吨8万元．
（1）求生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值；
（2）若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A产品的产量x在[0，$\frac{1}{2}$]∪[2，8]范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A产品多少吨，才可使平均成本最低？

Answer 1

分析 （1）设生产A产品的成本为y₁万元，生产B产品的成本为y₂万元，由题意可得y₁=kx²，（k为比例系数），求得k=4，可得生产A，B两种配套产品的平均成本为y=$\frac{4{x}^{2}+8（x+2）}{x+（x+2）}$，变形为y=2（x+1+$\frac{3}{x+1}$），运用基本不等式即可得到所求最小值；
（2）令t=x+1，则y=2（t+$\frac{3}{t}$），t∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，求出导数，判断单调性，即可得到所求最小值及对应x的值．

解答 解：（1）设生产A产品的成本为y₁万元，生产B产品的成本为y₂万元，
由题意可得y₁=kx²，（k为比例系数），
生产1吨A产品需要4万元，可得k=4．
即有生产A，B两种配套产品的总成本为4x²+8（x+2），
则生产A，B两种配套产品的平均成本为y=$\frac{4{x}^{2}+8（x+2）}{x+（x+2）}$
=$\frac{2{x}^{2}+4x+8}{x+1}$=2（x+1+$\frac{3}{x+1}$），
由x＞0，x+1＞0，可得x+1+$\frac{3}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{3}{x+1}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当x+1=$\frac{3}{x+1}$，即x=$\sqrt{3}$-1，取得等号．
即生产A，B两种配套产品的平均成本的最小值为4$\sqrt{3}$万元/吨；
（2）由x在[0，$\frac{1}{2}$]∪[2，8]，可得
x+1∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，
令t=x+1，则y=2（t+$\frac{3}{t}$），t∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，
由导数y′=2（1-$\frac{3}{{t}^{2}}$），
可得函数y在[1，$\frac{3}{2}$]递减，在[3，9]递增，
当t=$\frac{3}{2}$时，y=2×（$\frac{3}{2}$+2）=7；
当t=3时，y=2×（3+1）=8．
可得该工厂应生产A产品$\frac{1}{2}$吨，才可使平均成本最低．

点评 本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．