Question

已知A、B是二面角α-a-β的棱a上两点，AB=4cm，在α内，AC⊥a，且AC=6cm，在β内BD⊥a且BD=8cm，当此二面角是60゜时，
（1）求CD的长；
（2）求B到面ACD的距离．

Answer 1

分析：（1）由AC⊥a，BD⊥a可得AB是异面直线AC、BD公垂线，故AC、BD所成角等于此二面角的平面角60゜，代入异面两点之间的距离公式，可得CD的长；
（2）作DE⊥平面a于E，连BE，利用等积法，求出四棱锥D-ABC的体积，进而可得B到面ACD的距离．

解答：解：（1）AB是异面直线AC、BD公垂线，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm
又AC、BD所成角等于此二面角的平面角60゜，
故CD=

AB2+AC2+BD2-2AC?BD?cos60°

=2

17

cm．
（2）在三棱锥D-ABC中，S△ABC=

1

2

AB?AC=12cm2．
作DE⊥平面a于E，连BE，
∵BD⊥a，则a⊥BE，故∠DBE=60゜，
∴DE=BD?sin60o=4

3

(cm)，
于是VD-ABC=DE?S△ABC=16

3

．
又设B到平面ADC距离为d，连AD．
在△ACD中，AD²=80，CD²=68，AC²=36，
S△ACD=

1

4

4?AD2?CD2-(AD2+CD2-AC2)

=24．
故VB-ACD=

1

3

?d?24=16

3

，
∴d=2

3

cm．

点评：本题考查的知识点是空间两点之间的距离及点到平面的距离，（1）的关键是熟练掌握异面直线上两点之间的距离公式，（2）的关键是利用等积法．