Question

已知A、B是球O表面上两点，AB=8．过AB作两个平面α、β，使球心O在平面α上，且O到平面β的距离为2

3

．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B两点的球面距离为（　　）

• A、2

  2

  π
• B、

  2

  π
• C、

  π

  2

• D、

  5π

  2

Answer 1

分析：由已知中A、B是球O表面上两点，AB=8．过AB作两个平面α、β，使球心O在平面α上，作OO₁⊥β，O₁为垂足，取AB中点C，连接OC，O₁C，易得∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，结合已知中，O到平面β的距离为2

3

，二面角α-AB-β=60°，我们易求出球的半径，易弦AB的球心角，代入弧长公式，即可求出答案．

解答：解：作OO₁⊥β，O₁为垂足，取AB中点C，连接OC，O₁C，
则OC⊥AB，O₁C⊥AB，
∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，
所以∠O₁CO=60°．
在Rt△OO₁C中，
∵O到平面β的距离为2

3

．
∴OO₁=2

3

，OC=4．
连接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=

π

2

．
又球的半径OA=4

2

，所以A、B两点间的球面距离为4

2

×

π

2

=2

2

π
故选A

点评：本题考查球的截面及性质，球面距离，二面角等知识，考查学生的空间想象能力．求球面上两点间的球面距离时，必须先 找出这两点对球心所张的圆心角．