Question

已知A、B是球O表面上两点，AB=8．过AB作两个平面α、β，使球心O在平面α上，且O到平面β的距离为2．如果二面角α-AB-β=60°，那么A、B两点的球面距离为（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知中A、B是球O表面上两点，AB=8．过AB作两个平面α、β，使球心O在平面α上，作OO₁⊥β，O₁为垂足，取AB中点C，连接OC，O₁C，易得∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，结合已知中，O到平面β的距离为2，二面角α-AB-β=60°，我们易求出球的半径，易弦AB的球心角，代入弧长公式，即可求出答案．
解答：解：作OO₁⊥β，O₁为垂足，取AB中点C，连接OC，O₁C，
则OC⊥AB，O₁C⊥AB，
∠O₁CO是二面角α-AB-β的平面角，
所以∠O₁CO=60°．
在Rt△OO₁C中，
∵O到平面β的距离为2．
∴OO₁=2，OC=4．
连接OA、OB，由OC=AC=BC=4得∠AOB=．
又球的半径OA=4，所以A、B两点间的球面距离为4×=2π
故选A
点评：本题考查球的截面及性质，球面距离，二面角等知识，考查学生的空间想象能力．求球面上两点间的球面距离时，必须先 找出这两点对球心所张的圆心角．