Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n为数列{c_n}的前n项和．求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件b_n=2-2S_n；当n=1时先求出，再利用b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2bn得到{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）求出，是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．
解答：解：（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，又S₁=b₁
所以…（2分）
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即…（4分）
所以{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，
于是…（6分）
（2）数列{a_n}为等差数列，公差，可得a_n=3n-1…（7分）
从而
∴，∴…（11分）．…（12分）
点评：求一个数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．