Question

已知y=2x是△ABC中∠C的内角平分线所在直线的方程，若A（-4，2），B（3，1）．
（1）求点A关于y=2x的对称点P的坐标；
（2）求直线BC的方程；
（3）判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）设P（m，n）根据轴对称的性质建立关于m、n的方程组，解之得m=4且n=-2，即可得到所求点P的坐标；（2）根据角的两边关于角平分线所在直线对称，得到P（4，-2）在BC上，用点斜式写出直线PB的方程，即得
直线BC的方程；
（3）则BC方程与AC方程联解得出C（2，4），从而得到AB、BC、AC的长度，算出|AB|²=|BC|²+|AC|²，从而得到△ABC为以∠C为直角的直角三角形．

解答：解：（1）设A关于y=2x的对称点为P（m，n）．
∴

n-2 m+4 ×2=-1 n+2 2 =2× m-4 2

解之得

m=4 n=-2.

，即点P的坐标为（4，-2）．
（2）∵P（4，-2）在BC上，
∴BC的方程为y-1=-3（x-3），即3x+y-10=0．
（3）由

y=2x 3x+y-10=0

，解得

x=2 y=4.

∴C的坐标为（2，4）．
由|AB|=

50

，|BC|=

10

，|AC|=

40

，
得|AB|²=|BC|²+|AC|²，
∴△ABC为以∠C为直角的直角三角形．

点评：本题给出△ABC的顶点A、B的坐标，在给出角A平分线的基础之上求BC的方程，并判断三角形的形状，着重考查了两点的距离公式、直线与直线的位置关系和三角形形状的判断等知识，属于中档题．