Question

（1）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
（2）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则

x+2y

xy

的最小值是

 

．
（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为

 

．

Answer 1

分析：（1）把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最小距离等于圆心到直线的距离减去半径．
（2）由题意得  

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

=

2x+y

y

+

4x+2y

x

=

2x

y

+

2y

x

+5，利用基本不等式求最小值．
（3）由题意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，根据△ABC∽△BEC，对应边成比例，求出  CE 的长，即可得到AE的长．

解答：解：（1）曲线ρ=2sinθ   即 ρ²=2ρ sinθ，x²+y²=2y，x²+（y-1）²=1，
表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆．
直线ρsin(θ+

π

3

)=4 即

1

2

ρsinθ+

3

2

ρcosθ=4，

3

x+y-8=0．
圆心到直线的距离等于

|0+1-8|

3+1

=

7

2

，故点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

7

2

-1=

5

2

，
故答案为 

5

2

．
（2）

x+2y

xy

=

1

y

+

2

x

=

2x+y

y

+

4x+2y

x

=

2x

y

+

2y

x

+5≥2

2x y • 2y x

+5=9，
故

x+2y

xy

的最小值是 9，故答案为  9．
（3）由题意得∠BCM=∠CBE=∠BAC，∠BCE=∠ACB，∴△ABC∽△BEC，
∴

AB

BC

=

BC

CE

，

6

4

=

4

CE

，∴CE=

8

3

，AE=AC-CE=6-

8

3

=

10

3

，
故答案为 

10

3

．

点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系；基本不等式的应用，利用三角形相似求线段的长度．