Question

已知点P是线段AB上的动点（不包括两端点），点O是线段AB所在直线外一点，若

OP

=x

OA

+2y

OB

（x，y∈R），则

2

x

+

1

y

的最小值是（　　）

A．4

B．6

C．8

D．16

Answer 1

分析：由题意可得

AP

=λ•

AB

，λ＞0，化简可得

OP

=（1-λ）•

OA

+λ

OB

，可得 x+2y=（ 1-λ）+λ=1≥2

2xy

，从而得到

1

xy

≥8，再由

2

x

+

1

y

=

x+2y

xy

=

1

xy

，可得

2

x

+

1

y

≥8，进而得到结论．

解答：解：∵点P是线段AB上的动点（不包括两端点），∴

AP

=λ•

AB

，1＞λ＞0，∴

OP

- 

OA

=λ（

OB

- 

OA

），
化简可得

OP

=（1-λ）•

OA

+λ

OB

，再由

OP

=x

OA

+2y

OB

，可得 x=1-λ＞0，2y=λ＞0，
∴x+2y=（ 1-λ）+λ=1≥2

2xy

，化简可得 xy≤

1

8

，即

1

xy

≥8，当且仅当 x=2y=

1

2

 时，等号成立．
再由

2

x

+

1

y

=

x+2y

xy

=

1

xy

，可得

2

x

+

1

y

≥8，
故选 C．

点评：本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，基本不等式的应用，属于中档题．