Question

（2005•杭州二模）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角．

Answer 1

分析：（1）由已知中PB⊥底面ABC于B，，∠BCA=90°，我们易根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线AE与BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案；
（3）分别求出平面ABE与平面BEF的法向量，代入空间向量夹角公式，即可得到二面角A-BE-F的平面角的大小．

解答：解：（1）∵PB⊥平面ABC，
∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC
∴侧面PAC⊥侧面PBC．（4分）
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得：

P(0，0，4 2 )，B(0，0，0)，C(0，-4 2 ，0)，A(4 2 ，-4 2 ，0) 则E(0，-2 2 ，2 2 )，F(2 2 ，-2 2 ，2 2 ) AE =(-4 2 ，2 2 ，2 2 )， BF =(2 2 ，-2 2 ，2 2 )， ∴ AE • BF =-16，| AE |•| BF |=24 2 ，

∴cos＜ AE ， BF ＞=- 2 3 ， ∴AE与BF所成的角是arccos 2 3 (4分)

（3）平面EFB的法向量

a

=（0，1，1）
平面ABE的法向量为

b

=（1，1，1）
cos＜

a

，

b

＞=

6

3

，
∴二面角A-BE-F的平面角为arccos

6

3

．（4分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定及用空间向量法求平面与平面及直线与直线之间夹角，其中建立适当的坐标系，求出各个顶点的坐标，进而将空间线线、面面夹角转化为求向量夹角问题是解答本题的关键．