Question

（2005•杭州二模）如图所求，椭圆中心在坐标原点，离心率为

1

2

，F为随圆左焦点，直线AB与FC交于D点，则∠BDC的正切值是（　　）

• A．-3

  3

• B．3-

  3

• C．3

  3

• D．3+

  3

Answer 1

分析：根据题意可得离心率为

1

2

，然后得到a，b，c之间的关系，进而利用这些关系表示出∠DBF、∠DFB的正切值，再根据角之间的关系表示出∠BDC=π-（∠DBF+∠DFB），
利用正切公式即可得到答案．

解答：解：由e=

c

a

=

1

2

，
所以在△ABO中tan∠ABF=tan∠DBF=

b

a

=

3

2

，
在△OFC中：tan∠OFC=

b

c

=

3

，
又因为∠OFC=DFB，
所以tan∠DFB=

3

．
因为∠BDC=π-（∠DBF+∠DFB），
所以tan∠BDC=-tan（∠DBF+∠DFB）=-

tan∠DBF+tan∠DFB

1-tan∠DBFtan∠DFB

=3

3

．
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉椭圆中a，b，c之间的关系，以及图象中角与角之间的互补关系，进而得到答案．