Question

9．已知函数y=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由指数函数的图象变换求得函数y=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），代入一次函数y=mx+n，得到m+n=1，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵y=a^x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（0，1），
∴y=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），
又点A在一次函数y=mx+n的图象上，
∴m+n=1，又m＞0，n＞0，
∴mn$≤（\frac{m+n}{2}）^{2}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$（当且仅当m=n=$\frac{1}{2}$时等号成立）．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查指数函数的图象变换，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．