Question

4．设P是棱长相等的四面体内任意一点，则P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于（　　）

• A． 四面体的棱长
• B． 四面体的斜高
• C． 四面体的高
• D． 四面体两对棱间的距离

Answer 1

分析 棱长相等的四面体是正四面体，设棱长为a，由P是正四面体内的一点，知正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，由此能求出P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．

解答 解：棱长相等的四面体是正四面体，设棱长为a，
∵P是正四面体内的一点，∴正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，
设它到四个面的距离分别为m，n，p，q，
棱长为a的正四面体的四个面的面积都是S=$\frac{1}{2}$×a×a×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$．
又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的$\frac{2}{3}$，
又高为a×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
故底面中心到底面顶点的距离都是$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
由此知顶点到底面的距离是$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
此正四面体的体积是$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$（m+n+p+q），
解得m+n+p+q=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．
故选：C．

点评 正四面体内任意一点到各个面的距离之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．