Question

1．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n+1=$\frac{4{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）证明：数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}\}$是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}-\frac{n}{2}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）两边取倒数，利用等比数列的性质，即可得到证明；
（Ⅱ）由数列{b_n}的通项公式的特征可知其前n项和用错位相减法求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵${a}_{n+1}=\frac{4{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+2}{4{a}_{n}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2{a}_{n}}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}）$，
又${a}_{1}-\frac{1}{2}≠0$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{2}\}$为以$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，
∴${b}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}①$
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{n-1}{{2}^{n}}+\frac{n}{{2}^{n+1}}$②
①-②得：$\frac{1}{2}{S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
解得：${S}_{n}=2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等比数列的定义和错位相减法求和．（1）证明数列为等比数列，只要用定义即可，注意各项不为零；（2）错位相减法是数列求和的一重点内容，正确掌握其运算方法是解题关键．