Question

14．设${a_n}=\frac{1}{n}sin\frac{nπ}{25}$，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…，S₅₀中，正数的个数是（　　）

• A． 25
• B． 30
• C． 40
• D． 50

Answer 1

分析 由${a_n}=\frac{1}{n}sin\frac{nπ}{25}$可知当0＜n≤25时，a_n≥0，当25＜n≤50时，a_n＜0；再结合S₁=sin$\frac{π}{25}$＞0，S₅₀＞0，从而判断即可．

解答 解：∵${a_n}=\frac{1}{n}sin\frac{nπ}{25}$，
∴当0＜n≤25时，a_n≥0，当25＜n≤50时，a_n＜0；
∴S_n在[1，25]上单调递增，在（25，50]上单调递减；
∵S₁=sin$\frac{π}{25}$＞0，
S₅₀=sin$\frac{π}{25}$+$\frac{1}{2}$sin$\frac{2π}{25}$+…+0+$\frac{1}{26}$sin$\frac{26π}{25}$+$\frac{1}{27}$sin$\frac{27π}{25}$+…+0
=（1-$\frac{1}{26}$）sin$\frac{π}{25}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{27}$）sin$\frac{2π}{25}$+…+（$\frac{1}{24}$-$\frac{1}{49}$）sin$\frac{24π}{25}$+0＞0，
∴S₁，S₂，…，S₅₀都是正数，
故选D．

点评 本题考查了数列的递减性的判断与数列前n和的求法，同时考查了三角函数诱导公式的应用．