Question

定义在R上的函数f（x）关于直线x=1对称，且对任意实数x满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则（　　）

• A、f(

  1

  2

  )＞f(-

  1

  3

  )
• B、f(

  1

  2

  )＜f(

  1

  3

  )
• C、f(-

  1

  2

  )＞f(-

  1

  3

  )
• D、f(-

  1

  2

  )＞f(

  1

  3

  )

Answer 1

分析：先求出函数的周期，然后根据函数f（x）关于直线x=1对称则f（x）=f（2-x），利用性质将

1

2

、

1

3

、-

1

2

、-

1

3

化到区间[3，4]，代入f（x）=x-2求出函数值，从而得到函数值的大小关系．

解答：解：∵对任意实数x满足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x）则函数的周期为2
∵函数f（x）关于直线x=1对称
∴f（x）=f（2-x）
∵当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，
∴f（

1

2

）=f（2-

1

2

）=f（

3

2

+2）=

7

2

-2=

3

2

f（-

1

3

）=f（-

1

3

+4）=

11

3

-2=

5

3

f（-

1

2

）=f（-

1

2

+4）=

7

2

-2=

3

2

f（

1

3

）=f（2-

1

3

）=f（

5

3

+2）=

5

3

故选B

点评：本题主要考查了函数周期性以及奇偶性与单调性的综合，同时考查了转化能力，属于中档题．