Question

设函数f(x)=

3

6

sinθ•x3+

1

4

cosθ•x2+

1

2

tanθ，其中θ∈[0，

π

2

]，则导数f′（1）的取值范围是

[

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用求导法则：（xⁿ）′=nx^n-1，以及（C）′=0（C为常数），求出函数f（x）的导函数，把x=1代入导函数，得到导数f′（1）的关系式，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由θ的范围求出θ+

π

6

的范围，得到正弦函数的值域，进而得到导数f′（1）的取值范围．

解答：解：求导得：f′（x）=

3

2

sinθ•x²+

1

2

cosθ•x，
把x=1代入导函数得：f′（1）=

3

2

sinθ+

1

2

cosθ=sin（θ+

π

6

），
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（θ+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
则导数f′（1）的取值范围是[

1

2

，1]．
故答案为：[

1

2

，1]

点评：此题考查了导数的运算，正弦函数的值域，两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，灵活运用求导法则求出函数f（x）的导函数是解本题的关键．