题目内容
设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a，b，c，d∈R，a＞0)，其中f(0)=3，f′(x)是f(x)的导函数．(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36，f′(5)=f′(-3)=0，求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若c=-6，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，满足-1＜x1＜1＜x2＜2，设λ=a2+b2-6a+2b+10，试求实数λ的取值范围．
解：由f(0)=3，可知d=3
(Ⅰ)f′(x)=3 ax2+2bx+c，由f′(5)=f′(-3)=0知
x1=-3，x2=5是方程f′(x)=0的两根，
设f′(x)=m(x+3)(x-5) 将f′(-1)=-36代入得m=3
所以f′(x)=3(x+3)(x-5)=3x2-6x-45
比较系数得a=1，b=-3，c=-45
故f(x)=x3-3x2-45x+3为所求
(Ⅱ)依题意．f(x)=ax3+bx2-6x+d 则f′(x)=3 ax2+2bx-6
又x1，x2是方程f′(x)=0的两根，且-1＜x1＜1＜x2＜2，a＞0
则
即
则点(a，b)的可行域如图
由于λ=(a-3)2+(b+1)2，故λ的几何意义为P(a，b)与A(3，-1)的距离的平方．观察图形知点A到直线3a+2b-6=0的距离的平方d2为λ的最小值
d2=
故λ的取值范围是(
，+∞) .
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