Question

设函数f(x)=-

3

2

sin2x+

1

2

，A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，且C为锐角，则sinA=

2 2 + 3

6

．

Answer 1

分析：通过cosB=

1

3

，判断B的范围，求出sinB，利用f(

C

2

)=-

1

4

，求出sinC，cosC，利用两角和的正弦函数求出sinA．

解答：解：因为cosB=

1

3

，B∈（

π

3

，

π

2

），sinB=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

；
又f(

C

2

)=-

1

4

，所以-

3

2

sinC+

1

2

=-

1

4

，sinC=

3

2

，
A、B、C为△ABC的三个内角，C＜

π

2

，cosC=

1

2

，
sinA=sin（π-B-C）
=sin（B+C）
=sinBcosC+cosBsinC
=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

，
故答案为：

2 2 + 3

6

．

点评：本题是中档题，考查同角三角函数的基本关系式，三角形的内角和，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．