Question

【题目】已知函数， ，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）试探究当时，方程的解的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的切线方程、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用诱导公式化简，再对求导， 为切点的纵坐标， 为切线的斜率，最后利用点斜式求曲线的切线；第二问，将对任意，不等式恒成立，转化为， 构造函数对求导，判断函数的单调性，求最小值，代入到中即可；第三问，分情况讨论，对求导，利用导数判断函数的单调性，再验证区间端点纵坐标的正负来决定函数的一个零点.

试题解析：（1）依题意得， ，

.

所以曲线在点处的切线方程为. 4分

（2）等价于对任意， .5分

设， ．

则

因为，所以，

所以，故在单调递增， 6分

因此当时，函数取得最小值； 7分

所以，即实数的取值范围是.8分

（3）设， ．

①当时，由（2）知，函数在单调递增，

故函数在至多只有一个零点，

又，而且函数图象在上是连续不断的，

因此，函数在上有且只有一个零点.10分

②当时， 恒成立．证明如下：

设，则，所以在上单调递增，

所以时， ，所以，

又时， ，所以，即，即．

故函数在上没有零点.11分

③当时， ，所以函数在上单调递减，故函数在至多只有一个零点，

又，而且函数在上是连续不断的，

因此，函数在上有且只有一个零点.13分

综上所述， 时，方程有两个解.14分