Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线MN交AD的延长线于点C，BM=MN=NC=1，求AB的长和⊙O的半径．

Answer 1

解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，
∴∠BAC=90°，AB²=BM•BN．
∵BM=MN=NC=1，
∴2BM²=AB²，
∴AB=．
∵AB²+AC²=BC²，
∴2+AC²=9，AC=．
∵CN•CM=CD•CA，
∴2=CD•，
∴CD=．
∴⊙O的半径为（CA-CD）=．
分析：由已知中AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，由切割线定理，结合BM=MN=NC=1，我们易求出AB的长，在直角三角形ABC中，我们利用勾股定理，易求出AC的长，再由割线定理，求出CD长后，即可得到⊙O的半径．
点评：本题考查的知识点与圆有关的比例线段，其中分析已知的线段与未知线段的位置关系，选择恰当的定理构造线段间的数量关系式，是解答本题的关键．