Question

2．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点为F，椭圆与y轴的正半轴交于点B，且|BF|=$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为1的直线l经过点（1，0），与椭圆E相交于不同的两点M，N，在椭圆E上是否存在点P，使得△PMN的面积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出P点坐标及直线l的方程，由△PMN的面积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$求得点P到直线l的距离为1，再设出过点P与直线l平行的直线l₁：y=x+m．与椭圆方程联立，由判别式等于0求得m值，再结合两平行线间的距离公式求出l与l₁之间的距离，与1比较得答案．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=|BF|=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得c=1，∴b²=a²-c²=1．
则椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）存在．
设点P（x，y），直线l的方程为y=x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得M（0，-1），N（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），
则|MN|=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}+1）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
则点P到直线l的距离为$\frac{2×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{|MN|}=1$．
设过点P与直线l平行的直线l₁：y=x+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-12（2m²-2）=0，解得m=$±\sqrt{3}$．
当m=$\sqrt{3}$时，l与l₁之间的距离为$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$＞1；
当m=-$\sqrt{3}$时，l与l₁之间的距离为$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$＜1．
则在椭圆E上存在点P，使得△PMN的面积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．