Question

17．已知命题p：?x∈R，|x|+x≥0；q：关于x的方程x²+mx+1=0有实数根．
（1）写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假；
（2）若命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p的否定：存在x₀∈R，|x₀|+x₀＜0．容易判断真假．
（2）命题p：?x∈R，|x|+x≥0是真命题；命题“p∧q”为假命题，可得q为假命题．因此关于x的方程x²+mx+1=0没有实数根．因此△＜0，解得m范围．

解答 解：（1）命题p的否定：存在x₀∈R，|x₀|+x₀＜0．是一个假命题．
（2）命题p：?x∈R，|x|+x≥0是真命题；命题“p∧q”为假命题，∴q为假命题．
因此关于x的方程x²+mx+1=0没有实数根．∴△=m²-4＜0，解得-2＜m＜2．
∴实数m的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、充要条件的判定、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．