Question

已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 2，

试题分析：(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知，在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值，即可得椭圆的标准方程.
(Ⅱ) 由于，所以直线都过F点，从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况，和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子，类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况，求出最大值与最小值.
试题解析：（Ⅰ）由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为，过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于A,B两点则，又，所以，又，联立求得，，故椭圆方程为.
（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，
即直线经过椭圆焦点。又知，
（i）当斜率为零或不存在时，
（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为
所以：直线方程为：。直线方程为:
将直线方程代入椭圆方程，消去并化简整理可得
，
设坐标为，则，…………①
从而，将①代入化简得
，
将中换成可得,
所以=.
令，因为，所以，故，所以，当且仅当时，.综上（i）（ii）可知，即四边形PQMN的最大面积为2，最小面积为.