题目内容

已知椭圆C:的两个焦点是F1(c,0),F2(c,0)(c>0)。
(I)若直线与椭圆C有公共点,求的取值范围;
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时,椭圆的方程;
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足   ,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.
(I).(II).(III)直线纵截距的范围是.

试题分析:(I)由题意联立方程组

根据,即可得到的取值范围是.
(II)由椭圆的定义得,
,得到当时,有最小值,确定得到椭圆的方程的方程.
(III)设直线方程为
通过联立 ,整理得到一元二次方程,设
应用韦达定理,结合的中点,,得到,可建立的方程, 从而由得到使问题得解.
试题解析:(I)由题意知.

所以,解得
所以求的取值范围是.
(II)由椭圆的定义得,
因为,所以当时,有最小值
此时椭圆的方程的方程为.
(III)设直线方程为
整理得
化简得


的中点,所以
因为,所以
,化简得

所以
,所以
.
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