题目内容

【题目】设是定义在D上的函数,若对D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的C函数.

(1)试判断函数是否为定义域上的C函数,并说明理由;

(2)若函数是R上的奇函数,试证明不是R上的C函数;

(3)设是定义在D上的函数,若对任何实数以及D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的π函数. 已知是R上的π函数,m是给定的正整数,设,且,记. 对于满足条件的任意函数,试求的最大值.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3) 的最大值为.

【解析】试题分析：(1)证明是否成立,即可得出结论；(2)假设是R上的C函数,取, 则有,结合奇函数可得,是同理可得,则推出矛盾；(3)对任意,取.由题意, = ≤=,则.

试题解析：(1) 是C函数,

证明如下:对任意实数),

有==.

即， 是C函数.

(2)假设是R上的C函数,取,

则有.

是奇函数，所以，所以. (*)

同理,取,可证.与(*)式矛盾.

不是R上的C函数.

(3)对任意,取.

是R上的函数, ,且

= =.

那么= .

可证是函数,且使得都成立，此时.

综上所述, 的最大值为.

练习册系列答案
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A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

B. 向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变

D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

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(ii)以样本估计总体，在有购物意愿的人群中，若至少有65%的人购物预计支出不低于x千元，求x的最大值.

(Ⅱ) 如果参与本次问卷调查的总人数为t，问卷调查得到下列信息：

①参与问卷调查的男女人数之比为2:3；

②男士无购物意愿和有购物意愿的人数之比是1:3，女士无购物意愿和有购物意愿的人数之比为1:4；

③能以90%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”，但不能以95%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”.

根据以上数据信息，求t所有可能取值组成的集合M.

附： ，其中.

独立检验临界值表：

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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