Question

已知斜三棱柱—，侧面与底面垂直，∠，，且⊥，＝.

（1）试判断与平面是否垂直，并说明理由；

（2）求侧面与底面所成锐二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）AA₁与平面A₁BC不垂直

（2）

【解析】

试题分析：解法一：如图建立空间直角坐标系，

（1）由条件知                              1分

由面⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知     2分

∵   ……………3分

∴与不垂直，即AA₁与BC不垂直，

∴AA₁与平面A₁BC不垂直……5分

（2）由ACC₁A₁为平行四边形，

知==…7分

设平面BB₁C₁C的法向量，

由

令，则            9分

另外，平面ABC的法向量（0，0，1）       10分

所以侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为       12分

解法二：（1）取AC中点D，连结A₁D，则A₁D⊥AC．

又∵侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，交线为AC，

∵A₁D⊥面ABC

∴A₁D⊥BC． 2分

假设AA₁与平面A₁BC垂直，则AA₁⊥BC．

又A₁D⊥BC，由线面垂直的判定定理，

BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，这样在△ABC中

有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．假设不

成立，所以AA₁不与平面A₁BC垂直    5分

（2）侧面BB₁C₁C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB₁C₁C与A₁B₁C₁底面所成的锐二面角．

过点C作A₁C₁的垂线CE于E，则CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．

过点E作B₁C₁的垂线EF于F，连结CF．

因为B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF

所以∠CFE即为所求侧面BB₁C₁C与地面A₁B₁C₁所成的锐二面角的平面角           9分

由得

在Rt△EFC中，cos∠

所以，侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为     12分

考点：线面垂直的判定，二面角的平面角

点评：主要是考查了空间中线面垂直以及二面角平面角的大小的求解，运用向量法来求解，属于常规试题。