Question

已知斜三棱柱侧棱与底面边长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB₁A₁与底面垂直．
（1）求异面直线B₁C与C₁A所成的角；
（2）求此斜三棱柱的表面积．

Answer 1

分析：（1）取AB中点D，连结BC₁，交B₁C于点O，连结OD、B₁D．由平行四边形形的性质和三角形中位线定理，证出∠COD（或补角）是异面直线B₁C与C₁A所成的角．结合题中数据算出△COD的三边之长，再利用余弦定理即可算出异面直线B₁C与C₁A所成的角大小；
（2）根据余弦定理解三角形，算出cos∠ACC₁=-

1

4

，从而得到sin∠ACC₁=

15

4

，可得S AA1C1C=

15

．同样的方法算出S BB1C1C=

15

，结合S AA1B1B=2

3

和S_△ABC=S △A1B 1C1=

3

，即可求出此斜三棱柱的表面积．

解答：解：（1）取AB中点D，连结BC₁，交B₁C于点O，连结OD、B₁D
∵平行四边形BCC₁B₁的对角线交点为O，
∴O为BC₁的中点，可得OD是三角形ABC₁的中位线
∴OD∥AC₁，∠COD（或补角）是异面直线B₁C与C₁A所成的角
∵平面ABC⊥侧面ABB₁A₁，平面ABC∩侧面ABB₁A₁=AB
正三角形ABC中，CD⊥AB
∴CD⊥侧面ABB₁A₁，
∵CD=

3

2

AB=

3

，B₁D=

1+4-2×1×2cos120°

=

7

可得Rt△CDB₁中，B₁C=

CD2+B 1D2

=

10

，得C0=

10

2

=D0
∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD=

5 2 + 5 2 -3

2× 10 2 × 10 2

=

2

5

因此，异面直线B₁C与C₁A所成的角为arccos

2

5

；
（2）由（1）得AC₁=2D0=

10

，从而算出cos∠ACC₁=

4+4-10

2×2×2

=-

1

4

∴sin∠ACC₁=

15

4

，可得S AA1C1C=CC₁•ACcsin∠ACC₁=

15

同理算出S BB1C1C=

15

又∵S AA1B1B=A₁A•ABsin60°=2

3

，S_△ABC=S △A1B 1C1=

3

4

×22=

3

∴此斜三棱柱的表面积为
S=S AA1B1B+S BB1C1C+S AA1C1C+S_△ABC+S △A1B 1C1=2

15

+4

3

．

点评：本题给出特殊三棱柱，求异面直线所成角大小并求该几何体表面积，着重考查了面面垂直的性质定理、正余弦定理解三角形和面积公式等知识，属于中档题．