Question

已知向量

OA

=

α

，

OB

=

β

，

α

、

β

的夹角为

π

3

，|

α

-

β

|=1，则△AOB的最大面积是

3

4

．

Answer 1

分析：先根据

α

、

β

的夹角为

π

3

，|

α

-

β

|=1，得出两向量模之积取得最大值1，再利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：设|

OA

|=a，|

OB

|=b
∵

α

、

β

的夹角为

π

3

，|

α

-

β

|=1，
∴a2+b2-2abcos

π

3

=1
∴a²+b²-ab=1
∴a²+b²-ab=1≥2ab-ab
∴ab≤1
当且仅当a=b=1时，ab取得最大值1
∵△AOB的面积

1

2

absin

π

3

=

3

4

ab
∴△AOB的最大面积是

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题综合考查余弦定理、正弦定理，考查基本不等式的运用，确定两向量模之积的最大值是解题的关键．