Question

已知向量

OA

=（2

2

，0），O是坐标原点，动点 M 满足：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=6．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设 B（-2

2

，0），则|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=|

OM

+

OB

|+|

OM

-

OA

|=|

MB

|+|

MA

|=6，所以M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出M的轨迹C的方程．
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2，由 

y=kx+2 x2 9 +y2=1

得（1+9k²） x²+36kx+27=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（1）设 B（-2

2

，0）…（1分）
则|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=|

OM

+

OB

|+|

OM

-

OA

|=|

MB

|+|

MA

|=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2

2

，2a=6⇒a=3⇒b=1              …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为 

x2

9

+y²=1           …（6分）
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 

y=kx+2 x2 9 +y2=1

得x²+9 （kx+2）²=9，
即 （1+9k²） x²+36kx+27=0         …（8分）
∴△=（36k）²-4×27 （1+9k²）＞0
即 9k²-3＞0，∴k＜-

3

3

或k＞

3

3

  （*）…（9分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

36k

1+9k2

，x₁x₂=

27

1+9k2

                …（10分）
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0
∴（1+k²） x₁ x₂+2k （x₁+x₂）+4=0
即  

27(1+k2)

1+9k2

-

72k2

1+9k2

+4=0
解得k=±

31

3

满足 （*）
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：

31

x-3y+6=0或 

31

x+3y-6=0  …（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．