Question

1．若不等式$\sqrt{xy}$≤（a-1）x+ay，对任意的实数x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，结合不等式$\sqrt{xy}$≤（a-1）x+ay，对任意的实数x，y∈（0，+∞）恒成立，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意（a-1）x+ay≥2$\sqrt{（a-1）axy}$≥$\sqrt{xy}$，
∴2$\sqrt{a（a-1）}$≥1，
∴a≤$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$或a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
又a＞0，a-1＞0，
∴a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．