Question

12．已知正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为$2\sqrt{6}$，则此球的体积为36π．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出正四棱锥的高PM，再用射影定理求出球的半径，代入面积公式计算即可．

解答 解：如图所示，

设球的半径为r，正方形的ABCD的对角线的交点为M，
则球心在直线PM上，
MC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得PM=$\sqrt{{PC}^{2}{-MC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-（2\sqrt{2}）}^{2}}$=4，
再由射影定理得PC²=PM×2r，
即24=4×2r，
解得r=3，
所以此球的表面积为4πr²=36π．
故答案为：36π．

点评 本题考查了勾股定理、射影定理的应用以及球的表面积公式问题，是基础题目．