Question

已知向量，，其中A、B是△ABC的内角，．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）若a、b、c分别是角A、B、C的对边，当C最大时，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据 推断出 =0，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA•tanB；
（2）由于tanA•tanB=＞0，利用基本不等式得出当且仅当 时，c取得最大值，再利用同角公式求出sinC，sinA，最后由正弦定理求的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得 =0
即，
-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0
cosAcosB=9sinAsinB
∴tanA•tanB=．
（2）由于tanA•tanB=＞0，且A、B是△ABC的内角，
∴tanA＞0，tanB＞0
∴=-
当且仅当 取等号．
∴c为最大边时，有，tanC=-，
∴sinC=，sinA=
由正弦定理得：=．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低．