题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中A、B是△ABC的内角， $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，
（Ⅰ）求tanAtanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值．

解：（I）根据数量积的坐标运算公式，得
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin² $\text{[math]}$ +（cos² $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ [1-cos（A+B）]+ $\text{[math]}$ [1+cos（A-B）]- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ cos（A-B）- $\text{[math]}$ cos（A+B）= $\text{[math]}$ （cosAcosB+sinAsinB）- $\text{[math]}$ （cosAcosB-sinAsinB）
= $\text{[math]}$ sinAsinB- $\text{[math]}$ cosAcosB
∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ sinAsinB- $\text{[math]}$ cosAcosB=0，可得sinAsinB= $\text{[math]}$ cosAcosB
∴tanAtanB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（II）∵A、B是△ABC的内角，
∴π-C=A+B，可得tanC=-tan（A+B）= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （tanA+tanB）
∵A、B是三角形的内角，且tanAtanB= $\text{[math]}$ ＞0
∴A、B都是锐角，tanA、tanB都是正数
因此tanA+tanB≥2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴- $\text{[math]}$ （tanA+tanB）≤- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，即tanC≤- $\text{[math]}$ ，
当且仅当tanA=tanB= $\text{[math]}$ 时，tanC的最大值为- $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据数量积的坐标运算公式，将 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 展开，并用三角函数的降幂公式、和与差的余弦公式化简得： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinAsinB- $\text{[math]}$ cosAcosB，再由 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ sinAsinB- $\text{[math]}$ cosAcosB=0，最后可用同角三角函数的商数关系，得到tanAtanB= $\text{[math]}$ ；
（II）根据三角形的内角和等于π，结合三角和的正切公式，可得tanC=-tan（A+B）=- $\text{[math]}$ （tanA+tanB），再经过讨论可得tanA、tanB都是正数，所以tanA+tanB≥2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而得到当且仅当tanA=tanB= $\text{[math]}$ 时，tanC的最大值为- $\text{[math]}$ ．
点评：本题着重考查了三角函数的降幂公式、两角和的正切公式和基本不等式等知识点，属于中档题．