Question

椭圆C经过点P（3，0），Q（0，-1）
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程，并求出椭圆C的长轴长、短轴长、离心率和焦点坐标．
（Ⅱ）设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为P（3，0），Q（0，-1）在坐标轴上，由椭圆标准方程定义易得a、b的值，进而求得椭圆C的长轴长、短轴长、离心率和焦点坐标
（Ⅱ）将直线与椭圆联立，运用韦达定理，设而不求的技巧，易得线段AB的中点坐标
解答：解：（Ⅰ）由已知可得a=3，b=1，∴
椭圆的标准方程为，
长轴长2a=6，短轴长 2b=2．
离心率．
    焦点为．
（Ⅱ）得出10x²+36x+27=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点坐标为（x，y）
则x₁+x₂=，x=，y=x+2=∴线段AB的中点坐标为
点评：本题考查了椭圆标准方程的定义和求法，椭圆的几何意义，及直线与椭圆的关系，简单运用韦达定理，设而不求解决问题，属基础题